Bei dem Moped waren ja keine Papiere bei. Und was wurde mir alles erzählt, was ich tun muß, um welche zu bekommen. Es war super einfach.
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Ausfüllen, per Post einschicken (anscheinend wegen der originalen Unterschrift) und ein paar Tage später kommt dann die ABE per Nachname:

Der Spaß kostet dann gerade mal 23,35 Euro. Ist auch Geld, aber wenn man bedenkt, daß man mir empfohlen hat, erst einmal zum TÜV vorzufahren, das Ding abnehmen zu lassen, dann zur Zulassungsstelle und was da so alles an Ideen kam...

Das funktioniert aber nur mit Mopeds, die ursprünglich einmal in der DDR zugelassen waren. Also neben der Jawa kann man z.B. für die Simpson Schwalbe, Spatz, Star, den Krankenfahrstuhl Duo etc. eine ABE bekommen. Eine Liste jener Mopeds findet sich ebenfalls auf der Seite des KBA.

Zum Zulassen bzw. Versichern braucht man die ABE übrigens nicht zwingend, aber bei Polizeikontrollen isses schon nicht schlecht, soetwas dabei zu haben.